関数 $f(x) = -2x^2 - 4ax + 1$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a \le -1$ のときと $a > -1$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -2x^2 - 4ax + 1$ （$-1 \le x \le 3$）の最小値 $m(a)$ を求める問題です。放物線 $C$ は $f(x)$ のグラフであり、$C$ の頂点と軸の方程式を求め、$a \le -1$ のときと $a > -1$ のときの $m(a)$ をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= -2x^2 - 4ax + 1 \\

&= -2(x^2 + 2ax) + 1 \\

&= -2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) + 1 \\

&= -2((x+a)^2 - a^2) + 1 \\

&= -2(x+a)^2 + 2a^2 + 1

\end{align*}

したがって、放物線 $C$ の頂点は $(-a, 2a^2+1)$ です。また、軸の方程式は $x = -a$ です。

(i) $a \le -1$ のとき、すなわち $-a \ge 1$ です。

このとき、$x$ の範囲 $-1 \le x \le 3$ において、軸 $x = -a$ が範囲よりも右側にあるため、$f(x)$ は $x=-1$ で最小値をとります。

したがって、

\begin{align*}

m(a) &= f(-1) \\

&= -2(-1)^2 - 4a(-1) + 1 \\

&= -2 + 4a + 1 \\

&= 4a - 1

\end{align*}

(ii) $a > -1$ のとき、

$x$ の範囲 $-1 \le x \le 3$ において、$x = -a$ の位置によってさらに場合分けが必要になります。

まず，$-a < x < 3$より$-3 < a$

・$-1 < a \le 3$の時、軸が範囲内にある。

$f(x)$ は $x = -a$ で最小値をとります。

したがって、

$m(a) = 2a^2+1$

・ $a>3$の時

$x$ の範囲 $-1 \le x \le 3$ において、軸 $x = -a$ が範囲よりも左側にあるため、$f(x)$ は $x=3$ で最小値をとります。

$f(3) = -2(3^2) - 4a(3) + 1 = -18 - 12a + 1 = -12a -17$

今回は$a > -1$の場合のみを考慮する

よって$m(a) = f(3) = -12a -17$

3. 最終的な答え

ア： $(-a, 2a^2 + 1)$

イ： $-a$

ウ： 4

エ： -1

オ： -12

カ： -17