実数 $x$ に対して、与えられた4つの命題 $A \Rightarrow B$ の真偽を集合を用いて調べる問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、与えられた4つの命題 $A \Rightarrow B$ の真偽を集合を用いて調べる問題です。

2. 解き方の手順

各命題に対して、条件 $A$ を満たす $x$ の集合を $P$、条件 $B$ を満たす $x$ の集合を $Q$ とします。

$P \subseteq Q$ ならば命題は真、$P \nsubseteq Q$ ならば命題は偽となります。

(1) $1 < x < 2 \Rightarrow 1 < x < 3$

$P = \{x \mid 1 < x < 2\}$

$Q = \{x \mid 1 < x < 3\}$

$P \subseteq Q$ なので、命題は真です。

(2) $x < 1 \Rightarrow 0 < x < 1$

$P = \{x \mid x < 1\}$

$Q = \{x \mid 0 < x < 1\}$

$x = -1$ のとき、$x < 1$ を満たしますが、$0 < x < 1$ は満たしません。

したがって、$P \nsubseteq Q$ なので、命題は偽です。

(3) $x > 3 \Rightarrow |x+1| > 2$

$P = \{x \mid x > 3\}$

$Q = \{x \mid |x+1| > 2\}$

$|x+1| > 2$ は、$x+1 > 2$ または $x+1 < -2$ を意味します。

したがって、$x > 1$ または $x < -3$ です。

$Q = \{x \mid x > 1 \text{ または } x < -3\}$

$P \subseteq Q$ なので、命題は真です。

(4) $|x| \le 2 \Rightarrow |x-1| < 3$

$P = \{x \mid |x| \le 2\}$

$Q = \{x \mid |x-1| < 3\}$

$|x| \le 2$ は、$-2 \le x \le 2$ を意味します。

$P = \{x \mid -2 \le x \le 2\}$

$|x-1| < 3$ は、$-3 < x-1 < 3$ を意味します。

したがって、$-2 < x < 4$ です。

$Q = \{x \mid -2 < x < 4\}$

$P \subseteq Q$ なので、命題は真です。

3. 最終的な答え

(1) 真

(2) 偽

(3) 真

(4) 真