画像には３つの数学の問題があります。 (1) $\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$ を計算して簡単にすること。 (2) $(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2$ を展開して整理すること。 (3) $4a^2 + 4ab - 3b^2$ を因数分解すること。

1. 問題の内容

画像には３つの数学の問題があります。

(1) $\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$ を計算して簡単にすること。

(2) $(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2$ を展開して整理すること。

(3) $4a^2 + 4ab - 3b^2$ を因数分解すること。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3^5} + \sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$

$\sqrt{3^5}$ は $\sqrt{3^4 \cdot 3} = \sqrt{(3^2)^2 \cdot 3} = 3^2 \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ となります。

$\sqrt{(-2)^2 \cdot 3}$ は $\sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ となります。

よって、$9\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (9+2)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$ となります。

(2) $(2x+1)(2x-5) - (x-2)^2$

まず、$(2x+1)(2x-5)$ を展開します。

$(2x+1)(2x-5) = 4x^2 - 10x + 2x - 5 = 4x^2 - 8x - 5$

次に、$(x-2)^2$ を展開します。

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

よって、$4x^2 - 8x - 5 - (x^2 - 4x + 4) = 4x^2 - 8x - 5 - x^2 + 4x - 4 = 3x^2 - 4x - 9$ となります。

(3) $4a^2 + 4ab - 3b^2$

これは $(pa+qb)(ra+sb)$ の形に因数分解できるはずです。

$pr = 4$

$ps + qr = 4$

$qs = -3$

これらの条件を満たす $p,q,r,s$ を探します。

$p=2, r=2, q=-1, s=3$ を試してみます。

$(2a - b)(2a + 3b) = 4a^2 + 6ab - 2ab - 3b^2 = 4a^2 + 4ab - 3b^2$

これでうまくいくことがわかりました。

3. 最終的な答え

(1) $11\sqrt{3}$

(2) $3x^2 - 4x - 9$

(3) $(2a - b)(2a + 3b)$