放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの連立方程式がただ一つの解を持つということです。

まず、$y$ を消去して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - 2 = 3x - a$

これを整理すると、

$x^2 - 3x + (a - 2) = 0$

この二次方程式がただ一つの解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ になることです。

判別式 $D$ は、

$D = (-3)^2 - 4(1)(a - 2) = 9 - 4a + 8 = 17 - 4a$

$D = 0$ となるのは、

$17 - 4a = 0$

$4a = 17$

$a = \frac{17}{4}$

$a = \frac{17}{4}$ のとき、二次方程式は

$x^2 - 3x + (\frac{17}{4} - 2) = 0$

$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = 0$

$(x - \frac{3}{2})^2 = 0$

$x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{3}{2}$ を $y = 3x - a$ に代入すると、

$y = 3(\frac{3}{2}) - \frac{17}{4} = \frac{9}{2} - \frac{17}{4} = \frac{18}{4} - \frac{17}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{17}{4}$

接点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$