与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1, 2, 5, 10, 17, \dots$ の第6項と第7項を、階差数列を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の階差数列を求めます。

与えられた数列を $a_n$ とすると、

$a_1 = 1$

$a_2 = 2$

$a_3 = 5$

$a_4 = 10$

$a_5 = 17$

階差数列 $b_n$ は、

$b_1 = a_2 - a_1 = 2 - 1 = 1$

$b_2 = a_3 - a_2 = 5 - 2 = 3$

$b_3 = a_4 - a_3 = 10 - 5 = 5$

$b_4 = a_5 - a_4 = 17 - 10 = 7$

となり、$b_n$ は初項1、公差2の等差数列であると予想できます。

$b_n = 1 + (n-1) \times 2 = 2n - 1$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$ （$n \ge 2$）

$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$

$a_n = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$a_n = 1 + 2 \times \frac{(n-1)n}{2} - (n-1)$

$a_n = 1 + (n-1)n - (n-1)$

$a_n = 1 + n^2 - n - n + 1$

$a_n = n^2 - 2n + 2$

$a_n = (n-1)^2 + 1$

第6項 $a_6$ は、

$a_6 = (6-1)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$

第7項 $a_7$ は、

$a_7 = (7-1)^2 + 1 = 6^2 + 1 = 36 + 1 = 37$

3. 最終的な答え

第6項：26

第7項：37