$\sum_{k=1}^{n} (3k - 5)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (3k - 5)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

シグマの性質を利用して、$\sum_{k=1}^{n} (3k - 5)$ を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k - 5) = \sum_{k=1}^{n} 3k - \sum_{k=1}^{n} 5$

定数倍のシグマの性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k = 3 \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を使って、

$3 \sum_{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{3n(n+1)}{2}$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (3k - 5) = \frac{3n(n+1)}{2} - 5n$

式を整理します。

$\frac{3n(n+1)}{2} - 5n = \frac{3n^2 + 3n}{2} - \frac{10n}{2} = \frac{3n^2 + 3n - 10n}{2} = \frac{3n^2 - 7n}{2}$

$= \frac{n(3n-7)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(3n-7)}{2}$