与えられた命題「$x \neq 2 \Longrightarrow x^2 - 3x + 2 \neq 0$」について、その真偽、逆、裏、対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

1. 問題の内容

与えられた命題「$x \neq 2 \Longrightarrow x^2 - 3x + 2 \neq 0$」について、その真偽、逆、裏、対偶を求め、それぞれの真偽を判定する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 命題の真偽:

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$なので、$x^2 - 3x + 2 = 0$となるのは$x = 1$または$x = 2$のときです。

与えられた命題は、$x \neq 2$ならば$x^2 - 3x + 2 \neq 0$であると言っています。

$x=1$の場合、$x \neq 2$は成り立ち、$x^2 - 3x + 2 = 0$となります。したがって、$x^2-3x+2 \neq 0$は成り立ちません。

よって、与えられた命題は偽です。

(2) 逆:

元の命題の仮定と結論を入れ替えたものです。

$x^2 - 3x + 2 \neq 0 \Longrightarrow x \neq 2$

これは、$x^2 - 3x + 2 \neq 0$ならば、$x \neq 2$であると言っています。

$x=1$のとき、$x^2 - 3x + 2 = 0$となるので、$x=1$であれば、$x^2 - 3x + 2 \neq 0$は成り立ちます。

$x \neq 2$ は成り立ちますから正しいです。

(3) 裏:

元の命題の仮定と結論をそれぞれ否定したものです。

$x = 2 \Longrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$

$x = 2$のとき、$x^2 - 3x + 2 = 2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$となります。

したがって、この命題は真です。

(4) 対偶:

元の命題の逆の裏、または裏の逆です。元の命題の仮定と結論を入れ替えて、それぞれを否定したものです。

$x^2 - 3x + 2 = 0 \Longrightarrow x = 2$

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$なので、$x = 1$または$x = 2$です。

$x=1$の場合、$x = 2$は成り立ちません。したがって偽です。

3. 最終的な答え

命題: $x \neq 2 \Longrightarrow x^2 - 3x + 2 \neq 0$、真偽: 偽

逆: $x^2 - 3x + 2 \neq 0 \Longrightarrow x \neq 2$、真偽: 偽

裏: $x = 2 \Longrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$、真偽: 真

対偶: $x^2 - 3x + 2 = 0 \Longrightarrow x = 2$、真偽: 偽