$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}+1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}+1$ のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2}+1$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2}+1)^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 1 + 1^2$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 2 + 2\sqrt{2} + 1$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 3 + 2\sqrt{2}$

両辺から2を引きます。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 + 2\sqrt{2} - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 2\sqrt{2}$