問題は次の2つの式を計算することです。 (1) $\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

1. 問題の内容

問題は次の2つの式を計算することです。

(1) $\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

(1)

各分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{3+\sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、$3-\sqrt{5}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{3-\sqrt{5}}$ の分母を有理化するには、$3+\sqrt{5}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{3+\sqrt{5}} = \frac{1}{3+\sqrt{5}} \cdot \frac{3-\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3-\sqrt{5}}{4}$

$\frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{1}{3-\sqrt{5}} \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}} = \frac{3+\sqrt{5}}{9-5} = \frac{3+\sqrt{5}}{4}$

したがって、

$\frac{1}{3+\sqrt{5}} + \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{3-\sqrt{5}}{4} + \frac{3+\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}+3+\sqrt{5}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$

(2)

各分数の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ の分母を有理化するには、$\sqrt{2}-1$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ の分母を有理化するには、$\sqrt{2}+1$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

$\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{2}+1} - \frac{1}{\sqrt{2}-1} = (\sqrt{2}-1) - (\sqrt{2}+1) = \sqrt{2}-1-\sqrt{2}-1 = -2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $-2$