定積分 $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2 - 4x}$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2 - 4x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$x^2 - 4x = x(x-4)$ なので、

$\frac{1}{x^2 - 4x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-4}$

と表すことを考えます。両辺に $x(x-4)$ を掛けると

$1 = A(x-4) + Bx$

となります。

$x=0$ を代入すると $1 = -4A$, よって $A = -\frac{1}{4}$

$x=4$ を代入すると $1 = 4B$, よって $B = \frac{1}{4}$

したがって、

$\frac{1}{x^2 - 4x} = -\frac{1}{4x} + \frac{1}{4(x-4)}$

となります。

よって、

$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2 - 4x} = \int_{1}^{3} \left(-\frac{1}{4x} + \frac{1}{4(x-4)}\right) dx$

$= -\frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{1}{x} dx + \frac{1}{4} \int_{1}^{3} \frac{1}{x-4} dx$

$= -\frac{1}{4} [\ln|x|]_{1}^{3} + \frac{1}{4} [\ln|x-4|]_{1}^{3}$

$= -\frac{1}{4} (\ln 3 - \ln 1) + \frac{1}{4} (\ln|3-4| - \ln|1-4|)$

$= -\frac{1}{4} \ln 3 + \frac{1}{4} (\ln 1 - \ln 3)$

$= -\frac{1}{4} \ln 3 + \frac{1}{4} (0 - \ln 3)$

$= -\frac{1}{4} \ln 3 - \frac{1}{4} \ln 3$

$= -\frac{1}{2} \ln 3$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \ln 3$