定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を多項式と有理式に分解します。

$x^2 + 2$ を $x+2$ で割ると、

$x^2 + 2 = (x-2)(x+2) + 6$

となるので、

$\frac{x^2+2}{x+2} = \frac{(x-2)(x+2) + 6}{x+2} = x - 2 + \frac{6}{x+2}$

となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx = \int_{0}^{1} \left(x - 2 + \frac{6}{x+2}\right) dx$

$= \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} 2 dx + \int_{0}^{1} \frac{6}{x+2} dx$

$= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} - \left[ 2x \right]_{0}^{1} + \left[ 6 \ln |x+2| \right]_{0}^{1}$

$= \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} - (2\cdot 1 - 2 \cdot 0) + 6 (\ln |1+2| - \ln |0+2|)$

$= \frac{1}{2} - 2 + 6 (\ln 3 - \ln 2)$

$= \frac{1}{2} - 2 + 6 \ln \frac{3}{2}$

$= -\frac{3}{2} + 6 \ln \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{1} \frac{x^2+2}{x+2} dx = -\frac{3}{2} + 6 \ln \frac{3}{2}$