定積分 $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x})^2 dx$ を計算する。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} (e^{2x} - e^{-x})^2 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開する。

$(e^{2x} - e^{-x})^2 = e^{4x} - 2e^{2x}e^{-x} + e^{-2x} = e^{4x} - 2e^{x} + e^{-2x}$

次に、この展開した関数を積分する。

$\int (e^{4x} - 2e^{x} + e^{-2x}) dx = \int e^{4x} dx - 2\int e^{x} dx + \int e^{-2x} dx$

それぞれの積分は以下の通りである。

$\int e^{4x} dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C_1$

$\int e^{x} dx = e^{x} + C_2$

$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C_3$

したがって、不定積分は次のようになる。

$\int (e^{4x} - 2e^{x} + e^{-2x}) dx = \frac{1}{4}e^{4x} - 2e^{x} - \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

最後に、定積分を計算する。

$\int_{0}^{1} (e^{4x} - 2e^{x} + e^{-2x}) dx = \left[ \frac{1}{4}e^{4x} - 2e^{x} - \frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{1}$

$= \left(\frac{1}{4}e^{4} - 2e - \frac{1}{2}e^{-2}\right) - \left(\frac{1}{4}e^{0} - 2e^{0} - \frac{1}{2}e^{0}\right)$

$= \frac{1}{4}e^{4} - 2e - \frac{1}{2}e^{-2} - \left(\frac{1}{4} - 2 - \frac{1}{2}\right)$

$= \frac{1}{4}e^{4} - 2e - \frac{1}{2}e^{-2} - \frac{1}{4} + 2 + \frac{1}{2}$

$= \frac{1}{4}e^{4} - 2e - \frac{1}{2}e^{-2} + \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}e^{4} - 2e - \frac{1}{2}e^{-2} + \frac{9}{4}$