次の定積分を計算します。 $\int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx$

2. 解き方の手順

まず、絶対値記号を外すために、積分区間内で $\log x$ の符号を調べます。

$\log x$ は、$x=1$ で符号が変わります。

したがって、積分区間を $\frac{1}{e} \le x \le 1$ と $1 \le x \le e$ に分割します。

$\frac{1}{e} \le x \le 1$ のとき、$\log x \le 0$ なので、 $|\log x| = -\log x$ となります。

$1 \le x \le e$ のとき、$\log x \ge 0$ なので、 $|\log x| = \log x$ となります。

したがって、積分は次のように分割できます。

$\int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx = \int_{\frac{1}{e}}^{1} (-\log x) dx + \int_{1}^{e} (\log x) dx$

部分積分を使って $\int \log x \, dx$ を計算します。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

したがって、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

これを用いて、それぞれの積分を計算します。

$\int_{\frac{1}{e}}^{1} (-\log x) dx = -[x \log x - x]_{\frac{1}{e}}^{1} = -(1 \log 1 - 1 - (\frac{1}{e} \log \frac{1}{e} - \frac{1}{e})) = -(0 - 1 - (\frac{1}{e} (-1) - \frac{1}{e})) = -(-1 + \frac{1}{e} + \frac{1}{e}) = 1 - \frac{2}{e}$

$\int_{1}^{e} (\log x) dx = [x \log x - x]_{1}^{e} = (e \log e - e) - (1 \log 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$

したがって、

$\int_{\frac{1}{e}}^{e} |\log x| dx = (1 - \frac{2}{e}) + 1 = 2 - \frac{2}{e}$

3. 最終的な答え

$2 - \frac{2}{e}$