定積分 $\int_{-2}^{3} \sqrt{|x-2|} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{3} \sqrt{|x-2|} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるため、$x$ の範囲によって積分を分割する必要があります。

$x \geq 2$ のとき $|x-2| = x-2$ であり、$x < 2$ のとき $|x-2| = -(x-2) = 2-x$ です。

したがって、積分を $x = 2$ で分割します。

$\int_{-2}^{3} \sqrt{|x-2|} \, dx = \int_{-2}^{2} \sqrt{2-x} \, dx + \int_{2}^{3} \sqrt{x-2} \, dx$

それぞれの積分を計算します。

まず、$\int \sqrt{2-x} \, dx$ を計算します。$u = 2-x$ とおくと、$du = -dx$ なので、

$\int \sqrt{2-x} \, dx = -\int \sqrt{u} \, du = -\int u^{1/2} \, du = -\frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{2}{3} (2-x)^{3/2} + C$

したがって、

$\int_{-2}^{2} \sqrt{2-x} \, dx = \left[ -\frac{2}{3} (2-x)^{3/2} \right]_{-2}^{2} = -\frac{2}{3} (2-2)^{3/2} - \left( -\frac{2}{3} (2-(-2))^{3/2} \right) = 0 + \frac{2}{3} (4)^{3/2} = \frac{2}{3} (2^2)^{3/2} = \frac{2}{3} (2^3) = \frac{16}{3}$

次に、$\int \sqrt{x-2} \, dx$ を計算します。$v = x-2$ とおくと、$dv = dx$ なので、

$\int \sqrt{x-2} \, dx = \int \sqrt{v} \, dv = \int v^{1/2} \, dv = \frac{2}{3} v^{3/2} + C = \frac{2}{3} (x-2)^{3/2} + C$

したがって、

$\int_{2}^{3} \sqrt{x-2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} (x-2)^{3/2} \right]_{2}^{3} = \frac{2}{3} (3-2)^{3/2} - \frac{2}{3} (2-2)^{3/2} = \frac{2}{3} (1)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3}$

したがって、

$\int_{-2}^{3} \sqrt{|x-2|} \, dx = \frac{16}{3} + \frac{2}{3} = \frac{18}{3} = 6$

3. 最終的な答え

6