$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$u = 1 - x^2$ とおくと、$du = -2x \, dx$ となります。したがって、$x \, dx = -\frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $u = 1 - 0^2 = 1$、$x=1$ のとき $u = 1 - 1^2 = 0$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} x\sqrt{1-x^2} \, dx = \int_{1}^{0} \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2} du\right) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sqrt{u} \, du$

$\sqrt{u} = u^{1/2}$ なので、積分を実行すると次のようになります。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( 1^{3/2} - 0^{3/2} \right) = \frac{1}{3} (1 - 0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$