$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて解く。

$u = \log x$ と置くと、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$ より $du = \frac{1}{x} dx$となる。

積分範囲も変換する。

$x = 1$ のとき、$u = \log 1 = 0$

$x = e$ のとき、$u = \log e = 1$

したがって、積分は以下のようになる。

$\int_{1}^{e} \frac{\log x}{x} dx = \int_{0}^{1} u du$

$\int u du = \frac{1}{2} u^2 + C$ より、

$\int_{0}^{1} u du = \left[\frac{1}{2} u^2\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(1^2 - 0^2) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$