与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、置換積分法を用います。

$u = 2-x^2$ と置くと、$du = -2x dx$ となります。したがって、$x dx = -\frac{1}{2}du$ です。

積分の範囲も変更します。

$x = 0$ のとき、$u = 2-0^2 = 2$

$x = 1$ のとき、$u = 2-1^2 = 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2-x^2}} dx = \int_{2}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du$

$= -\frac{1}{2} \int_{2}^{1} u^{-\frac{1}{2}} du$

$= \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{-\frac{1}{2}} du$

$= \frac{1}{2} [2u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

$= [u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

$= \sqrt{2} - \sqrt{1}$

$= \sqrt{2} - 1$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} - 1$