定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{3 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{3 + \cos^2 x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos x$ と置換します。

このとき、$dt = -\sin x dx$ となり、また $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ なので、

$\sin 2x dx = 2 \sin x \cos x dx = -2 \cos x (- \sin x dx) = -2 t dt$ となります。

次に、積分範囲を変更します。

$x = 0$ のとき、$t = \cos 0 = 1$ となり、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$t = \cos \frac{\pi}{2} = 0$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2x}{3 + \cos^2 x} dx = \int_{1}^{0} \frac{-2t}{3 + t^2} dt = -2 \int_{1}^{0} \frac{t}{3 + t^2} dt$

積分範囲を反転させると、符号が変わるので、

$-2 \int_{1}^{0} \frac{t}{3 + t^2} dt = 2 \int_{0}^{1} \frac{t}{3 + t^2} dt$

ここで、$u = 3 + t^2$ と置換します。

このとき、$du = 2t dt$ となり、$t dt = \frac{1}{2} du$ となります。

積分範囲を変更します。

$t = 0$ のとき、$u = 3 + 0^2 = 3$ となり、$t = 1$ のとき、$u = 3 + 1^2 = 4$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$2 \int_{0}^{1} \frac{t}{3 + t^2} dt = 2 \int_{3}^{4} \frac{1}{2u} du = \int_{3}^{4} \frac{1}{u} du$

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u} du = [\ln |u|]_{3}^{4} = \ln 4 - \ln 3 = \ln \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\ln \frac{4}{3}$