$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ を計算する。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^3 x$ を $\cos x$ と $\cos^2 x$ に分解し、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を用いて式を変換する。

$\cos^3 x = \cos x \cdot \cos^2 x = \cos x (1 - \sin^2 x)$

よって、積分は次のようになる。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos^3 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x (1 - \sin^2 x) dx$

ここで、$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ となる。

積分範囲も変更する必要がある。

$x = 0$ のとき、$u = \sin 0 = 0$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$u = \sin \frac{\pi}{2} = 1$

よって、積分は次のようになる。

$\int_{0}^{1} u^2 (1 - u^2) du = \int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du$

$\int (u^2 - u^4) du = \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} + C$

定積分を計算すると、

$\int_{0}^{1} (u^2 - u^4) du = [\frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5}]_{0}^{1} = (\frac{1^3}{3} - \frac{1^5}{5}) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^5}{5}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{15}$