定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^2} \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$x = 2\sin\theta$ と置換します。

$dx = 2\cos\theta \, d\theta$ となります。

$x=0$ のとき、$2\sin\theta = 0$ より $\theta = 0$ です。

$x=1$ のとき、$2\sin\theta = 1$ より $\sin\theta = \frac{1}{2}$ なので $\theta = \frac{\pi}{6}$ です。

したがって、積分は以下のように変換できます。

$\int_{0}^{1} \sqrt{4 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sqrt{4(1 - \sin^2\theta)} \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta \, d\theta$

$= 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos^2\theta \, d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用いて、

$4 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= 2 \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}}$

$= 2 \left[ \left( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin(0) \right) \right]$

$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right]$

$= 2 \left[ \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right] = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$