与えられた定積分を計算します。 $$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$$

2. 解き方の手順

この積分は、逆三角関数の積分として知られている形をしています。具体的には、以下の公式を利用します。

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$$

この問題では、$a^2 = 4$なので、$a = 2$となります。したがって、積分は以下のようになります。

$$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) + C$$

次に、定積分を計算します。積分範囲は0から1なので、以下のように計算します。

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \left[ \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_0^1 = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(\frac{0}{2}\right)$$

$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)$ は $\frac{\pi}{6}$ に等しく、$\arcsin(0)$ は $0$ に等しいので、

$$\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) - \arcsin\left(0\right) = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{\pi}{6}$$