実数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、ある有理数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が存在し、$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ かつ $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ となる。このとき、実数の積 $\alpha\beta$ を $\lim_{n\to\infty} a_n b_n$ と定義する。この定義において、数列 $\{a_n b_n\}$ は常に収束し、その極限は数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の選び方によらないことを証明する。

1. 問題の内容

実数 $\alpha$ と $\beta$ が与えられたとき、ある有理数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が存在し、$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ かつ $\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ となる。このとき、実数の積 $\alpha\beta$ を $\lim_{n\to\infty} a_n b_n$ と定義する。この定義において、数列 $\{a_n b_n\}$ は常に収束し、その極限は数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の選び方によらないことを証明する。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ はそれぞれ $\alpha$ と $\beta$ に収束する有理数列であるとする。$\alpha\beta = \lim_{n\to\infty} a_n b_n$ が well-defined であることを示すには、別の有理数列 $\{a'_n\}$ と $\{b'_n\}$ が $\lim_{n\to\infty} a'_n = \alpha$ かつ $\lim_{n\to\infty} b'_n = \beta$ を満たすとき、

$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = \lim_{n\to\infty} a'_n b'_n$

が成り立つことを示す必要がある。

$\epsilon > 0$ を任意に与える。

$|a_n b_n - \alpha\beta| = |a_n b_n - \alpha b_n + \alpha b_n - \alpha\beta| \le |a_n b_n - \alpha b_n| + |\alpha b_n - \alpha\beta| = |a_n - \alpha||b_n| + |\alpha||b_n - \beta|$.

同様に

$|a'_n b'_n - \alpha\beta| \le |a'_n - \alpha||b'_n| + |\alpha||b'_n - \beta|$.

したがって、

$|a_n b_n - a'_n b'_n| = |a_n b_n - \alpha\beta + \alpha\beta - a'_n b'_n| \le |a_n b_n - \alpha\beta| + |\alpha\beta - a'_n b'_n| \le |a_n - \alpha||b_n| + |\alpha||b_n - \beta| + |a'_n - \alpha||b'_n| + |\alpha||b'_n - \beta|$.

数列 $\{b_n\}$ と $\{b'_n\}$ は収束するので有界である。すなわち、ある $M > 0$ が存在し、$|b_n| \le M$ かつ $|b'_n| \le M$ が全ての $n$ について成り立つ。

$\lim_{n\to\infty} a_n = \alpha$ と $\lim_{n\to\infty} a'_n = \alpha$ より、ある $N_1$ が存在し、$n > N_1$ ならば $|a_n - \alpha| < \epsilon$ かつ $|a'_n - \alpha| < \epsilon$ が成り立つ。

$\lim_{n\to\infty} b_n = \beta$ と $\lim_{n\to\infty} b'_n = \beta$ より、ある $N_2$ が存在し、$n > N_2$ ならば $|b_n - \beta| < \epsilon$ かつ $|b'_n - \beta| < \epsilon$ が成り立つ。

$N = \max(N_1, N_2)$ とすると、$n > N$ ならば

$|a_n b_n - a'_n b'_n| \le \epsilon M + |\alpha|\epsilon + \epsilon M + |\alpha|\epsilon = 2\epsilon(M + |\alpha|)$.

したがって、$\lim_{n\to\infty} a_n b_n = \lim_{n\to\infty} a'_n b'_n$ が成り立つ。

よって、数列 $\{a_n b_n\}$ の極限は数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ の選び方によらない。

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n b_n\}$ はつねに収束し、その極限は数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ のとり方によらない。