与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。 (1) $y = \sin(2x+3)$ (2) $y = \cos^2 x$ (3) $y = \cot 3x$ (4) $y = \frac{\sin x}{2+\sin x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求めます。

(1) $y = \sin(2x+3)$

(2) $y = \cos^2 x$

(3) $y = \cot 3x$

(4) $y = \frac{\sin x}{2+\sin x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(2x+3)$ の導関数

合成関数の微分法を用います。$u = 2x+3$ とおくと、$y = \sin u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 2$

したがって、$\frac{dy}{dx} = 2\cos(2x+3)$

(2) $y = \cos^2 x$ の導関数

これも合成関数の微分法を用います。$u = \cos x$ とおくと、$y = u^2$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 2u$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、$\frac{dy}{dx} = 2\cos x(-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$

(3) $y = \cot 3x$ の導関数

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ であり、$\frac{d}{dx} \cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$ なので、$u = 3x$ とおくと、$y = \cot u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\csc^2 u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、$\frac{dy}{dx} = -3\csc^2 3x$

(4) $y = \frac{\sin x}{2+\sin x}$ の導関数

商の微分法を用います。$u = \sin x$, $v = 2+\sin x$ とおくと、$y = \frac{u}{v}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u' = \cos x$

$v' = \cos x$

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x (2+\sin x) - \sin x \cos x}{(2+\sin x)^2} = \frac{2\cos x + \sin x \cos x - \sin x \cos x}{(2+\sin x)^2} = \frac{2\cos x}{(2+\sin x)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $2\cos(2x+3)$

(2) $-\sin 2x$

(3) $-3\csc^2 3x$

(4) $\frac{2\cos x}{(2+\sin x)^2}$