与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = \sin^{-1}x^3$ (2) $y = \cos^{-1}(3x)$ (3) $y = (1+x^2)\tan^{-1}x$ (4) $y = \sin^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、それぞれの導関数を求める問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = \sin^{-1}x^3$

(2) $y = \cos^{-1}(3x)$

(3) $y = (1+x^2)\tan^{-1}x$

(4) $y = \sin^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^{-1}x^3$ の導関数

$\sin^{-1}u$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ です。この問題では $u=x^3$ なので、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^3)^2}} \cdot 3x^2 = \frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$

(2) $y = \cos^{-1}(3x)$ の導関数

$\cos^{-1}u$ の導関数は $-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ です。この問題では $u=3x$ なので、$\frac{du}{dx} = 3$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(3x)^2}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(3) $y = (1+x^2)\tan^{-1}x$ の導関数

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。$u = 1+x^2$, $v = \tan^{-1}x$ とすると、$u' = 2x$, $v' = \frac{1}{1+x^2}$ となります。

よって、

$\frac{dy}{dx} = 2x\tan^{-1}x + (1+x^2)\frac{1}{1+x^2} = 2x\tan^{-1}x + 1$

(4) $y = \sin^{-1}x - \sqrt{1-x^2}$ の導関数

$\sin^{-1}x$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

$\sqrt{1-x^2}$ の導関数は $\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ です。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{1-9x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = 2x\tan^{-1}x + 1$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}}$