与えられた2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{x})^x$ (2) $\lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{3}{x}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{x})^x$

(2) $\lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{3}{x}}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{x})^x$を求めます。

$y = -x$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき、$y \to \infty$ となります。よって、

$\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{2}{x})^x = \lim_{y \to \infty} (1 - \frac{2}{y})^{-y}$

$= \lim_{y \to \infty} (\frac{y - 2}{y})^{-y} = \lim_{y \to \infty} (\frac{y}{y - 2})^y$

$= \lim_{y \to \infty} (1 + \frac{2}{y - 2})^y$

ここで、$z = y - 2$ とおくと、$y \to \infty$ のとき、$z \to \infty$ となります。よって、$y = z + 2$ より、

$\lim_{z \to \infty} (1 + \frac{2}{z})^{z + 2} = \lim_{z \to \infty} (1 + \frac{2}{z})^z (1 + \frac{2}{z})^2$

$\lim_{z \to \infty} (1 + \frac{2}{z})^z = e^2$であり、$\lim_{z \to \infty} (1 + \frac{2}{z})^2 = 1$なので、

$\lim_{z \to \infty} (1 + \frac{2}{z})^z (1 + \frac{2}{z})^2 = e^2 \cdot 1 = e^2$

(2) の解き方

$\lim_{x \to 0} (1 - x)^{\frac{3}{x}}$ を求めます。

$y = (1 - x)^{\frac{3}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{3}{x} \log (1 - x)$ となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \log (1 - x)}{x}$を求めます。

$\log (1 - x)$ の Taylor展開は、$\log(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \log (1 - x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots)}{x} = \lim_{x \to 0} 3(-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \cdots) = -3$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = -3$ なので、$\lim_{x \to 0} y = e^{-3}$

3. 最終的な答え

(1) $e^2$

(2) $e^{-3}$