数列 ${a_k}$ に対して、和 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}$ の値を求め、$\frac{\text{エ}}{\text{オカ}}$ の形で答えよ。ただし、数列 ${a_k}$ が具体的にどのようなものかは明記されていません。

1. 問題の内容

数列 ${a_k}$ に対して、和 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k \cdot a_{k+1}}$ の値を求め、$\frac{\text{エ}}{\text{オカ}}$ の形で答えよ。ただし、数列 ${a_k}$ が具体的にどのようなものかは明記されていません。

2. 解き方の手順

この問題は、部分分数分解を利用して解くことが想定されます。

まず、$\frac{1}{a_k a_{k+1}}$ を部分分数に分解することを考えます。

もし $a_{k+1}-a_k$ が定数 $d$ であれば、$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)$と分解できます。

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ に代入すると、

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right) = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{10} \left(\frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}}\right)$

$=\frac{1}{d} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{a_{10}} - \frac{1}{a_{11}}\right) \right]$

$= \frac{1}{d} \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{11}}\right)$

この値が $\frac{\text{エ}}{\text{オカ}}$ の形になるはずです。

しかし、問題文には ${a_k}$ に関する情報が不足しているため、これ以上計算を進めることができません。

この問題は、数列 $\{a_k\}$ が与えられていない限り、具体的な数値を求めることはできません。問題文が不完全である可能性があります。

以下に仮定を置いて計算します。

もし$a_k = k$ならば、$a_{k+1}-a_k = (k+1) - k = 1 = d$なので、

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{10} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \frac{1}{1} - \frac{1}{11} = \frac{11-1}{11} = \frac{10}{11}$

この場合、エ = 10、オカ = 11となります。

3. 最終的な答え

もし$a_k = k$と仮定するならば、$\frac{10}{11}$

エ = 10

オカ = 11