等差数列 1, 4, 7, 10, ... を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように分ける。第 $n$ 群の最後の数を求める。

1. 問題の内容

等差数列 1, 4, 7, 10, ... を、第 $n$ 群が $n$ 個の数を含むように分ける。第 $n$ 群の最後の数を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた数列は初項1、公差3の等差数列である。この数列の一般項は $a_n = 1 + 3(n-1) = 3n - 2$ と表せる。

次に、第 $n$ 群までに含まれる項の総数を考える。第1群には1個、第2群には2個、...、第 $n$ 群には $n$ 個の数が含まれるので、第 $n$ 群までに含まれる項の総数は $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ となる。

したがって、第 $n$ 群の最後の数は、元の数列の $\frac{n(n+1)}{2}$ 番目の項である。

これに一般項の式を適用すると、第 $n$ 群の最後の数は

$3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - 2 = \frac{3}{2}n(n+1) - 2$ となる。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}n(n+1) - 2$