与えられた行列の階数を求めます。与えられた行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 6 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列の階数を求めます。与えられた行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 6 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列の階数を求めるには、行基本変形を用いて行列を階段行列に変形し、0でない行の数を数えます。

与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 & 6 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

1. 1行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 6 & 3 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 1 & -2 & 2 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

2. 2行目から1行目の2倍を引きます（R2 -> R2 - 2R1）。

3行目から1行目の3倍を引きます（R3 -> R3 - 3R1）。

5行目から1行目を引きます（R5 -> R5 - R1）。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -4 & 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

3. 2行目を-1/2倍します（R2 -> (-1/2)R2）。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3/2 & 0 \\ 0 & -4 & 4 & 6 & 0 \\ 0 & 2 & -2 & -3 & 0 \\ 0 & -4 & 3 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

4. 3行目に2行目の4倍を加えます（R3 -> R3 + 4R2）。

4行目から2行目の2倍を引きます（R4 -> R4 - 2R2）。

5行目に2行目の4倍を加えます（R5 -> R5 + 4R2）。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -6 & -3 \end{pmatrix}$

5. 3行目と5行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3/2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -6 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

6. 3行目を-1倍します（R3 -> -R3）。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

この時点で階段行列になりました。0でない行の数は3なので、行列の階数は3です。

3. 最終的な答え

3