$(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(2x+3)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用して $(2x+3)^4$ を展開します。二項定理は、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。

この問題では、$a = 2x$, $b = 3$, $n = 4$ です。$x^3$ の項は、$k=1$ のときに現れます。

$\binom{4}{1} (2x)^{4-1} (3)^1 = \binom{4}{1} (2x)^3 (3)^1$

二項係数 $\binom{4}{1}$ は、

$\binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(3 \times 2 \times 1)} = 4$

したがって、$x^3$ の項は

$4 (2x)^3 (3) = 4 (8x^3) (3) = 4 \times 8 \times 3 \times x^3 = 96x^3$

よって、$x^3$ の係数は 96 です。

3. 最終的な答え

96