不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が成り立つことを示し、等号が成り立つとき、$x$ と $y$ の関係を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ が成り立つことを示し、等号が成り立つとき、$x$ と $y$ の関係を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を変形します。

$2x^2 + 3y^2 - 4xy \geq 0$

この式を平方完成します。$x$に関する二次式と見て平方完成すると、

$2(x^2 - 2xy) + 3y^2 \geq 0$

$2(x^2 - 2xy + y^2 - y^2) + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 - 2y^2 + 3y^2 \geq 0$

$2(x - y)^2 + y^2 \geq 0$

$2(x-y)^2$ と $y^2$ はともに2乗の定数倍なので、常に0以上となります。したがって、$2(x-y)^2 + y^2 \geq 0$ は常に成り立ちます。

等号が成り立つとき、$2(x - y)^2 + y^2 = 0$ である必要があります。

$2(x-y)^2 \geq 0$ と $y^2 \geq 0$ であるため、$2(x - y)^2 = 0$ かつ $y^2 = 0$ である必要があります。

$y^2 = 0$ より、$y = 0$ 。

$2(x - y)^2 = 0$ より、$x - y = 0$ 。$y = 0$ を代入すると、$x = 0$ 。

3. 最終的な答え

不等式 $2x^2 + 3y^2 \geq 4xy$ は常に成り立つ。

等号が成り立つのは、$x=0$ かつ $y=0$ のとき。

つまり、$x=y=0$。