与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$ と置きます。すると、与えられた式は $x^3 + y^3 + z^3$ となります。ここで、

$x + y + z = (a-b) + (b-c) + (c-a) = a - b + b - c + c - a = 0$

となることに注目します。

$x + y + z = 0$ のとき、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立つことを利用します。

この恒等式を証明するために、$z = -(x+y)$を代入すると、

$x^3 + y^3 + z^3 = x^3 + y^3 + (-x-y)^3$

$= x^3 + y^3 - (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3)$

$= x^3 + y^3 - x^3 - 3x^2y - 3xy^2 - y^3$

$= -3x^2y - 3xy^2$

$= -3xy(x+y)$

$= -3xy(-z)$

$= 3xyz$

したがって、$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ が成り立ちます。

元の式に戻すと、

$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 3(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$3(a-b)(b-c)(c-a)$