以下の6つの式を因数分解してください。 (1) $2x^4 - 16xy^3$ (2) $ax - by + bx - ay$ (3) $3a^2 - 2a - 5$ (4) $x^4 - 10x^2 + 9$ (5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$ (6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

はい、承知いたしました。画像にある問題3の(1)から(6)を因数分解します。

1. 問題の内容

以下の6つの式を因数分解してください。

(1) $2x^4 - 16xy^3$

(2) $ax - by + bx - ay$

(3) $3a^2 - 2a - 5$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9$

(5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$

(6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

2. 解き方の手順

(1) $2x^4 - 16xy^3$

まず、共通因数 $2x$ でくくります。

$2x(x^3 - 8y^3)$

次に、$x^3 - 8y^3$ を因数分解します。これは、$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式を利用します。ここで、$a = x$、$b = 2y$ とすると、

$x^3 - 8y^3 = (x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

したがって、

$2x^4 - 16xy^3 = 2x(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

(2) $ax - by + bx - ay$

この式を並び替えて、$ax - ay + bx - by$ とします。

次に、$a$ と $b$ でくくります。

$a(x - y) + b(x - y)$

$(x - y)$ でくくると、

$(a + b)(x - y)$

(3) $3a^2 - 2a - 5$

この式を因数分解します。たすき掛けを利用します。

$3a^2 - 2a - 5 = (3a - 5)(a + 1)$

(4) $x^4 - 10x^2 + 9$

$x^2 = X$ とおくと、$X^2 - 10X + 9$ となります。これを因数分解すると、

$(X - 1)(X - 9)$

$X$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2 - 1)(x^2 - 9)$

さらに、$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$、$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ であるから、

$(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$

(5) $x^2 - 3xy + 2y^2 + 4x - 7y + 3$

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (-3y + 4)x + (2y^2 - 7y + 3)$

次に、$2y^2 - 7y + 3$ を因数分解します。

$2y^2 - 7y + 3 = (2y - 1)(y - 3)$

したがって、

$x^2 + (-3y + 4)x + (2y - 1)(y - 3)$

$x$ についての二次式の因数分解を考えます。

$(x + 2y - 1)(x + y - 3)$

(6) $x^2 + 4xy + 3y^2 + 8x + 6y - 9$

まず、$x^2 + 4xy + 3y^2$ を因数分解します。

$x^2 + 4xy + 3y^2 = (x + y)(x + 3y)$

与式は、

$(x + y)(x + 3y) + 8x + 6y - 9$

式全体をうまく因数分解できるように整理すると、

$x^2 + (4y+8)x + (3y^2 + 6y - 9)$

$3y^2 + 6y - 9 = 3(y^2 + 2y - 3) = 3(y+3)(y-1)$

与式を下記のように書き換える

$(x+y)(x+3y) + 8x + 6y - 9$

$(x+3y+a)(x+y+b)$ の形になると仮定すると

$x^2+4xy+3y^2+(a+b)x+(3b+a)y+ab$

$a+b=8$

$3b+a=6$

上記の連立方程式を解くと

$b=-1$, $a=9$

$(x+3y+9)(x+y-1)$

3. 最終的な答え

(1) $2x(x - 2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)$

(2) $(a + b)(x - y)$

(3) $(3a - 5)(a + 1)$

(4) $(x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)$

(5) $(x + 2y - 1)(x + y - 3)$

(6) $(x + 3y + 9)(x + y - 1)$