$(x-1)^6$を展開せよ。

1. 問題の内容

$(x-1)^6$を展開せよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は以下のように表されます。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$n=6$, $a=x$, $b=-1$とします。

$\binom{n}{k}$は二項係数と呼ばれ、$\frac{n!}{k!(n-k)!}$で計算できます。

$(x-1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-1)^k$

$(x-1)^6 = \binom{6}{0}x^6(-1)^0 + \binom{6}{1}x^5(-1)^1 + \binom{6}{2}x^4(-1)^2 + \binom{6}{3}x^3(-1)^3 + \binom{6}{4}x^2(-1)^4 + \binom{6}{5}x^1(-1)^5 + \binom{6}{6}x^0(-1)^6$

各二項係数を計算します。

$\binom{6}{0} = 1$

$\binom{6}{1} = 6$

$\binom{6}{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

$\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$

$\binom{6}{5} = \frac{6!}{5!1!} = 6$

$\binom{6}{6} = 1$

したがって、

$(x-1)^6 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-1) + 15 \cdot x^4 \cdot 1 + 20 \cdot x^3 \cdot (-1) + 15 \cdot x^2 \cdot 1 + 6 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$(x-1)^6 = x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1$

3. 最終的な答え

$x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1$