与えられた式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の2次式と見て整理します。

$6x^2 + (5y + 1)x - (6y^2 + 5y + 1)$

次に、定数項の $6y^2 + 5y + 1$ を因数分解します。

$6y^2 + 5y + 1 = (2y + 1)(3y + 1)$

よって、与式は次のようになります。

$6x^2 + (5y + 1)x - (2y + 1)(3y + 1)$

次に、因数分解できると仮定して、$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に表せるか考えます。

$6x^2$ の項を考えると、$a \times d = 6$ となります。

$-(2y + 1)(3y + 1)$ の項を考えると、組み合わせによって $b \times e = -6$を満たし、 $c \times f = -1$ を満たす必要があります。

$ad + be = 5$ を満たす組み合わせを探します。

$6 = 2 \times 3$ と分解できるので、$a=2, d=3$ としてみます。

すると、$(2x + by + c)(3x + ey + f)$ となります。

定数項を考慮して、符号を調整します。

$(2x + 3y + 1)(3x - 2y - 1) = 6x^2 - 4xy - 2x + 9xy - 6y^2 - 3y + 3x - 2y - 1 = 6x^2 + 5xy - 6y^2 + x - 5y - 1$

となるので、これが正しい因数分解となります。

3. 最終的な答え

$(2x + 3y + 1)(3x - 2y - 1)$