関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ について、次の問いに答えます。 (1) この関数のグラフの軸と頂点を求めます。 (2) $0 \le x \le 2$ の範囲におけるこの関数の最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ について、次の問いに答えます。

(1) この関数のグラフの軸と頂点を求めます。

(2) $0 \le x \le 2$ の範囲におけるこの関数の最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $y = 3x^2 - 6ax + 2$ を平方完成します。

まず、$x^2$ の係数でくくります。

$y = 3(x^2 - 2ax) + 2$

次に、括弧の中を平方完成します。

$y = 3(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2$

$y = 3((x - a)^2 - a^2) + 2$

$y = 3(x - a)^2 - 3a^2 + 2$

したがって、軸は $x = a$ で、頂点は $(a, -3a^2 + 2)$ です。

(2) $y = 3x^2 - 6ax + 2$ ($0 \le x \le 2$) の最小値を求めます。

軸は $x = a$ なので、$a$ の値によって最小値をとる $x$ の値が変わります。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $y$ は単調増加するので、$x = 0$ で最小値をとります。

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^2 - 6a(0) + 2 = 2$

(ii) $0 \le a \le 2$ のとき、頂点の $x$ 座標が区間内にあるので、$x = a$ で最小値をとります。

$x = a$ のとき、$y = 3a^2 - 6a^2 + 2 = -3a^2 + 2$

(iii) $a > 2$ のとき、区間 $0 \le x \le 2$ で $y$ は単調減少するので、$x = 2$ で最小値をとります。

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^2 - 6a(2) + 2 = 12 - 12a + 2 = 14 - 12a$

まとめると、

$a < 0$ のとき、最小値は $2$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x=a$, 頂点: $(a, -3a^2 + 2)$

(2)

$a < 0$ のとき、最小値は $2$

$0 \le a \le 2$ のとき、最小値は $-3a^2 + 2$

$a > 2$ のとき、最小値は $14 - 12a$