与えられた定積分を計算します。 $\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}x + \frac{x}{6}) \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{2}{3}x + \frac{x}{6}) \, dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中のsin関数の引数を整理します。

$\frac{2}{3}x + \frac{x}{6} = \frac{4x}{6} + \frac{x}{6} = \frac{5x}{6}$

したがって、積分は

$\int_{1}^{2} \sin(\frac{5x}{6}) \, dx$

となります。

次に、この積分を計算します。sin関数の積分は-cos関数であるので、

$\int \sin(\frac{5x}{6}) \, dx = -\frac{6}{5} \cos(\frac{5x}{6}) + C$

となります。

定積分を計算するには、この不定積分に積分範囲を代入します。

$-\frac{6}{5} \cos(\frac{5x}{6}) \Big|_1^2 = -\frac{6}{5} \cos(\frac{5 \cdot 2}{6}) - (-\frac{6}{5} \cos(\frac{5 \cdot 1}{6})) = -\frac{6}{5} \cos(\frac{5}{3}) + \frac{6}{5} \cos(\frac{5}{6})$

よって、

$\frac{6}{5}(\cos(\frac{5}{6}) - \cos(\frac{5}{3}))$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{5}(\cos(\frac{5}{6}) - \cos(\frac{5}{3}))$