(1) 関数 $y = \frac{1}{x-2} + 2$ ($3 \le x \le 5$) のグラフを描き、値域を求める。 (2) 関数 $y = \frac{1-x}{x+1}$ ($x < -1$) のグラフを描き、値域を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{1}{x-2} + 2$ ($3 \le x \le 5$) のグラフを描き、値域を求める。

(2) 関数 $y = \frac{1-x}{x+1}$ ($x < -1$) のグラフを描き、値域を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = \frac{1}{x-2} + 2$ のグラフについて考える。

これは $y = \frac{1}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものである。

定義域が $3 \le x \le 5$ であることに注意してグラフを描画する。

$x = 3$ のとき $y = \frac{1}{3-2} + 2 = 1 + 2 = 3$

$x = 5$ のとき $y = \frac{1}{5-2} + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

$3 \le x \le 5$ において、$y$ は単調減少なので、値域は $\frac{7}{3} \le y \le 3$

(2)

$y = \frac{1-x}{x+1}$ を変形する。

$y = \frac{-(x+1) + 2}{x+1} = -1 + \frac{2}{x+1} = \frac{2}{x+1} - 1$

これは $y = \frac{2}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。

定義域が $x < -1$ であることに注意してグラフを描画する。

$x$ が $-1$ に近づくとき、$y$ は $-\infty$ に発散する。

$x$ が $-\infty$ に近づくとき、$y$ は $-1$ に近づく。

したがって、値域は $y < -1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 値域: $\frac{7}{3} \le y \le 3$

(2) 値域: $y < -1$