数列 $\{(2x)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{(2x)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

数列 $\{r^n\}$ が収束するための条件は、以下の通りです。

* $-1 < r \leq 1$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0$

* $r = 1$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 1$

したがって、数列 $\{(2x)^n\}$ が収束するための条件は、

$-1 < 2x \leq 1$

となることです。この不等式を解いて $x$ の範囲を求めます。

$-1 < 2x \leq 1$

$-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、数列は $1, 1, 1, \dots$ となり、極限値は1です。

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、数列の極限値は0です。

3. 最終的な答え

$x$ の値の範囲は $-\frac{1}{2} < x \leq \frac{1}{2}$ です。

極限値は

* $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、0

* $x = \frac{1}{2}$ のとき、1