数列の第n項が与えられたとき、その数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列について、nを無限大に近づけたときの極限を求めます。 (1) $(\frac{1}{3})^n$ (2) $(\frac{4}{3})^n$ (3) $(-\frac{3}{4})^n$ (4) $(-3)^n$ (5) $(\sqrt{2}-1)^n$ (6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

1. 問題の内容

数列の第n項が与えられたとき、その数列の極限を求める問題です。具体的には、以下の6つの数列について、nを無限大に近づけたときの極限を求めます。

(1) $(\frac{1}{3})^n$

(2) $(\frac{4}{3})^n$

(3) $(-\frac{3}{4})^n$

(4) $(-3)^n$

(5) $(\sqrt{2}-1)^n$

(6) $(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n$

2. 解き方の手順

数列 $\{a^n\}$ の極限は、$a$ の値によって異なります。

* $|a|<1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} a^n = 0$

* $a=1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} a^n = 1$

* $a>1$ のとき、$\lim_{n\to\infty} a^n = \infty$ （発散）

* $a \le -1$ のとき、数列 $\{a^n\}$ は振動し、極限は存在しません。

各数列について、上記の性質を利用して極限を求めます。

(1) $a = \frac{1}{3}$ であり、$|\frac{1}{3}| < 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (\frac{1}{3})^n = 0$

(2) $a = \frac{4}{3}$ であり、$\frac{4}{3} > 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (\frac{4}{3})^n = \infty$ （発散）

(3) $a = -\frac{3}{4}$ であり、$|-\frac{3}{4}| < 1$ なので、$\lim_{n\to\infty} (-\frac{3}{4})^n = 0$

(4) $a = -3$ であり、$-3 < -1$ なので、数列 $\{(-3)^n\}$ は振動し、極限は存在しません。

(5) $a = \sqrt{2} - 1$ であり、$1 < \sqrt{2} < 2$ より $0 < \sqrt{2} - 1 < 1$ なので、$|\sqrt{2}-1| < 1$。したがって、$\lim_{n\to\infty} (\sqrt{2}-1)^n = 0$

(6) $a = \frac{1}{1-\sqrt{2}}$ であり、$a = \frac{1}{1-\sqrt{2}} = \frac{1}{1-\sqrt{2}} \cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{2}}{1-2} = -1-\sqrt{2}$

$a=-1-\sqrt{2} < -1$ なので、数列 $\{(\frac{1}{1-\sqrt{2}})^n\}$ は振動し、極限は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 発散

(3) 0

(4) 極限は存在しない（振動）

(5) 0

(6) 極限は存在しない（振動）