$a, b$ を定数とする整式 $x^3 + ax^2 + b$ が整式 $x^2 + 4x + 4$ で割り切れるように、$a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$a, b$ を定数とする整式 $x^3 + ax^2 + b$ が整式 $x^2 + 4x + 4$ で割り切れるように、$a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ より、$x^3 + ax^2 + b$ が $(x+2)^2$ で割り切れるということは、$x^3 + ax^2 + b$ が $(x+2)$ で2回割り切れるということである。つまり、$x=-2$ が $x^3 + ax^2 + b = 0$ の重解であるということである。

まずは、$x=-2$ を $x^3 + ax^2 + b = 0$ に代入する。

$$(-2)^3 + a(-2)^2 + b = 0$$

$$-8 + 4a + b = 0$$

$$b = 8 - 4a$$

したがって、$x^3 + ax^2 + b = x^3 + ax^2 + (8 - 4a)$ は $x+2$ で割り切れる。実際に割ってみる。

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x} & +(a-2) \\

\cline{2-5}

x+2 & x^3 & +ax^2 & +0x & +(8-4a) \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +2x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & (a-2)x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & (a-2)x^2 & +2(a-2)x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & -2(a-2)x & +(8-4a) \\

\multicolumn{2}{r}{} & & -2(a-2)x & -4(a-2) \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 8-4a+4(a-2) \\

\end{array}

剰余は $8 - 4a + 4(a-2) = 8 - 4a + 4a - 8 = 0$ となり、$x^3 + ax^2 + (8 - 4a)$ は $x+2$ で割り切れることが確認できた。

次に、$x^2 + (a-2)x - 2(a-2)$ が $x+2$ で割り切れる必要がある。そこで、$x=-2$ を代入する。

$$(-2)^2 + (a-2)(-2) - 2(a-2) = 0$$

$$4 - 2a + 4 - 2a + 4 = 0$$

$$12 - 4a = 0$$

$$4a = 12$$

$$a = 3$$

したがって、$b = 8 - 4a = 8 - 4(3) = 8 - 12 = -4$ である。

$x^3+3x^2-4$ を $(x+2)^2 = x^2+4x+4$ で割ると、

\begin{array}{c|cc cc}

\multicolumn{2}{r}{x} & -1 \\

\cline{2-5}

x^2+4x+4 & x^3 & +3x^2 & +0x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & +4x^2 & +4x \\

\cline{2-4}

\multicolumn{2}{r}{0} & -x^2 & -4x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{} & -x^2 & -4x & -4 \\

\cline{3-5}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 0 & 0 \\

\end{array}

となり、割り切れることが確認できた。

3. 最終的な答え

$a=3, b=-4$