以下の3つの式を因数分解する問題です。 (1) $(x^2+3x-2)(x^2+3x+4)-16$ (2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$ (3) $(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9$

1. 問題の内容

以下の3つの式を因数分解する問題です。

(1) $(x^2+3x-2)(x^2+3x+4)-16$

(2) $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

(3) $(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2+3x = A$とおくと、

$(A-2)(A+4)-16 = A^2 + 2A - 8 - 16 = A^2 + 2A - 24 = (A+6)(A-4)$

ここで、$A = x^2+3x$を代入すると、

$(x^2+3x+6)(x^2+3x-4) = (x^2+3x+6)(x+4)(x-1)$

(2)

$(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)+15$

$((x-1)(x-7))((x-3)(x-5)) + 15 = (x^2-8x+7)(x^2-8x+15)+15$

ここで、$x^2-8x = A$とおくと、

$(A+7)(A+15)+15 = A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

$A = x^2-8x$を代入すると、

$(x^2-8x+10)(x^2-8x+12) = (x^2-8x+10)(x-2)(x-6)$

(3)

$(x+2)(x+4)(x-1)(x-3)+9$

$((x+2)(x-1))((x+4)(x-3))+9 = (x^2+x-2)(x^2+x-12)+9$

$x^2+x = A$とおくと、

$(A-2)(A-12)+9 = A^2 - 14A + 24 + 9 = A^2 - 14A + 33 = (A-3)(A-11)$

$A = x^2+x$を代入すると、

$(x^2+x-3)(x^2+x-11)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2+3x+6)(x+4)(x-1)$

(2) $(x^2-8x+10)(x-2)(x-6)$

(3) $(x^2+x-3)(x^2+x-11)$