初項から第3項までの和が7、第3項から第5項までの和が28である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

1. 問題の内容

初項から第3項までの和が7、第3項から第5項までの和が28である等比数列の初項 $a$ と公比 $r$ を求める。

2. 解き方の手順

等比数列の初項を $a$、公比を $r$ とすると、第 $n$ 項は $ar^{n-1}$ と表せる。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2$ であり、これが7に等しい。つまり、

$a + ar + ar^2 = 7$ (1)

第3項から第5項までの和は $ar^2 + ar^3 + ar^4$ であり、これが28に等しい。つまり、

$ar^2 + ar^3 + ar^4 = 28$ (2)

式(2)を $r^2$ でくくると、

$r^2(a + ar + ar^2) = 28$

式(1)より、$a + ar + ar^2 = 7$ であるから、これを代入すると、

$r^2(7) = 28$

$r^2 = \frac{28}{7} = 4$

$r = \pm 2$

(i) $r = 2$ のとき、式(1)に代入すると、

$a + 2a + 4a = 7$

$7a = 7$

$a = 1$

(ii) $r = -2$ のとき、式(1)に代入すると、

$a - 2a + 4a = 7$

$3a = 7$

$a = \frac{7}{3}$

3. 最終的な答え

(i) $a = 1$, $r = 2$

(ii) $a = \frac{7}{3}$, $r = -2$