$x$ の方程式 $mx^2 + (m-1)x + m - 1 = 0$ がただ1つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $mx^2 + (m-1)x + m - 1 = 0$ がただ1つの実数解をもつとき、定数 $m$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、$mx^2 + (m-1)x + m - 1 = 0$ です。

この方程式がただ1つの実数解を持つためには、次の2つのケースを考慮する必要があります。

ケース1: $m = 0$ のとき

$m = 0$ を方程式に代入すると、

$0x^2 + (0-1)x + 0 - 1 = 0$

$-x - 1 = 0$

$x = -1$

この場合、方程式は $x = -1$ というただ1つの実数解を持つので、$m = 0$ は条件を満たします。

ケース2: $m \neq 0$ のとき

この場合、方程式は2次方程式なので、判別式 $D$ を考えます。

$D = b^2 - 4ac$ であり、$a = m$, $b = m-1$, $c = m-1$ です。

したがって、$D = (m-1)^2 - 4m(m-1)$ となります。

方程式がただ1つの実数解を持つためには、$D = 0$ である必要があります。

$(m-1)^2 - 4m(m-1) = 0$

$(m-1)((m-1) - 4m) = 0$

$(m-1)(m-1 - 4m) = 0$

$(m-1)(-3m - 1) = 0$

$m-1 = 0$ または $-3m - 1 = 0$

$m = 1$ または $m = -\frac{1}{3}$

したがって、$m = 1$ と $m = -\frac{1}{3}$ が得られます。

以上から、$m = 0, 1, -\frac{1}{3}$ が考えられます。

3. 最終的な答え

$m = 0, 1, -\frac{1}{3}$