水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を求める問題です。電子の速度は $v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h}$ で与えられます。ここで、$e = 1.602 \times 10^{-19}$ [C]、$ \epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ [F/m]、$h = 6.626 \times 10^{-34}$ [J s] です。

## 問題の解答

### 問題2：電子の速度の計算

1. 問題の内容

水素原子のボーアモデルにおける電子の速度 $v$ を求める問題です。電子の速度は $v = \frac{e^2}{2 \epsilon_0 h}$ で与えられます。ここで、$e = 1.602 \times 10^{-19}$ [C]、$\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}$ [F/m]、$h = 6.626 \times 10^{-34}$ [J s] です。

2. 解き方の手順

与えられた式に、それぞれの値を代入して計算します。

$v = \frac{(1.602 \times 10^{-19})^2}{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 6.626 \times 10^{-34}}$

$v = \frac{2.566404 \times 10^{-38}}{1.176639 \times 10^{-44}}$

$v \approx 2.1811 \times 10^{6}$ [m/s]

3. 最終的な答え

電子の速度 $v$ は約 $2.1811 \times 10^6$ m/s です。

### 問題3：ボーア半径の導出

1. 問題の内容

ボーア半径 $r_B$ を導出する問題です。$r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ で与えられています。クーロン力と遠心力の関係 $F = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$ を用い、電子速度 $v$ を表す式を導き、求めた速度の式を代入し、ボーア半径の式を導出します。

2. 解き方の手順

* クーロン力と遠心力の関係から電子速度 $v$ を表す式を導出します。

$F = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r^2} = m_e \frac{v^2}{r}$

$v^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m_e r}$

$v = \sqrt{\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m_e r}}$

* 電子の角運動量が量子化されている条件 $m_e v r = \frac{h}{2 \pi}$ を用います。

* $v = \frac{h}{2 \pi m_e r}$を代入します

$v^2 = (\frac{h}{2 \pi m_e r})^2 = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m_e r}$

$\frac{h^2}{4 \pi^2 m_e^2 r^2} = \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 m_e r}$

$h^2 \epsilon_0 = \pi m_e e^2 r$

$r = \frac{h^2 \epsilon_0}{\pi m_e e^2} = r_B$

3. 最終的な答え

ボーア半径 $r_B$ は $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ で与えられます。

### 問題4：電子のポテンシャルエネルギー

1. 問題の内容

電子のポテンシャルエネルギー $E_p$ を求め、さらに電子ボルト (eV) 単位に変換する問題です。$E_p = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0 r_B}$ で与えられています。

2. 解き方の手順

* ボーア半径 $r_B = \frac{\epsilon_0 h^2}{\pi m_e e^2}$ を $E_p$ の式に代入します。

$E_p = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \times \frac{\pi m_e e^2}{\epsilon_0 h^2}$

$E_p = - \frac{m_e e^4}{4 \epsilon_0^2 h^2}$

* 値 ($m_e \approx 9.109 \times 10^{-31}$ kg) を代入します。

$E_p = - \frac{(9.109 \times 10^{-31}) \times (1.602 \times 10^{-19})^4}{4 \times (8.854 \times 10^{-12})^2 \times (6.626 \times 10^{-34})^2}$

$E_p \approx -2.179 \times 10^{-18}$ [J]

* eV 単位に変換します。1 eV = $1.602 \times 10^{-19}$ J を用います。

$E_p [eV] = \frac{-2.179 \times 10^{-18}}{1.602 \times 10^{-19}} \approx -13.6$ [eV]

3. 最終的な答え

電子のポテンシャルエネルギー $E_p$ は約 -13.6 eV です。