Eノ口先生がカラアゲとコロッケを組み合わせて食べる際の、エネルギー、脂質、食べる量の合計に関する条件を満たすように、食べる量や組み合わせを決定する問題です。

1. 問題の内容

Eノ口先生がカラアゲとコロッケを組み合わせて食べる際の、エネルギー、脂質、食べる量の合計に関する条件を満たすように、食べる量や組み合わせを決定する問題です。

2. 解き方の手順

(i) 条件①（エネルギー量）と条件②（脂質量）を表す不等式を決定します。

カラアゲを $x$ 袋、コロッケを $y$ 袋食べるとすると、

エネルギーの摂取量は $200x + 300y$ kcal、脂質の摂取量は $4x + 2y$ g です。

エネルギーは1500 kcal以下、脂質は16 g以下という条件から、次の不等式が得られます。

条件①: $200x + 300y \le 1500$

条件②: $4x + 2y \le 16$

(ii) 与えられた $(x, y)$ の組が条件①と②を満たすかどうかを確認します。

$(0, 5)$ のとき、

条件①: $200(0) + 300(5) = 1500 \le 1500$ (満たす)

条件②: $4(0) + 2(5) = 10 \le 16$ (満たす)

$(5, 0)$ のとき、

条件①: $200(5) + 300(0) = 1000 \le 1500$ (満たす)

条件②: $4(5) + 2(0) = 20 > 16$ (満たさない)

$(4, 1)$ のとき、

条件①: $200(4) + 300(1) = 1100 \le 1500$ (満たす)

条件②: $4(4) + 2(1) = 18 > 16$ (満たさない)

$(3, 2)$ のとき、

条件①: $200(3) + 300(2) = 1200 \le 1500$ (満たす)

条件②: $4(3) + 2(2) = 16 \le 16$ (満たす)

(iii) 条件①、②をともに満たす $(x, y)$ について、$x + y$ の最大値を求めます。

$200x + 300y \le 1500$ を $2x + 3y \le 15$ と変形します。

$4x + 2y \le 16$ を $2x + y \le 8$ と変形します。

実数の場合、$x + y = k$ とおくと、$y = -x + k$ となります。

これを $2x + 3(-x + k) \le 15$ および $2x + (-x + k) \le 8$ に代入します。

$-x + 3k \le 15$ および $x + k \le 8$ となります。

$x = 8 - k$ より、$-(8 - k) + 3k \le 15$ となります。

$4k \le 23$ となり、$k \le \frac{23}{4} = 5.75$ です。

$2x+y=8$ と $2x+3y=15$ を解くと $2y=7$, $y=3.5$, $x=2.25$となるので、最大値は $5.75$ となります。

$x+y$ が最大となるのは、$x = 2.25$、$y = 3.5$ のときです。

このとき食べる量の合計は、$100x + 100y = 100(x + y) = 100(5.75) = 575$ g です。

したがって、カラアゲ、コロッケの袋を小分けにして食べるとき、食べる量の合計の最大値は 575 g です。

$(x, y) = (2.25, 3.5) = (9/4, 7/2)$ です。

カラアゲとコロッケを袋の中身はすべて食べ切るとき、$x, y$ の値は整数です。

$2x+3y \le 15$ と $2x+y \le 8$ を満たす整数の組 $(x, y)$ で $x + y$ を最大にするものを探します。

$(3,2)$ のとき、$x+y=5$、食べる量の合計は500g。

$(4,0)$ のとき、$x+y=4$、食べる量の合計は400g。

$x=0$のとき，$3y \le 15$、$y \le 5$なので，$x+y \le 5$

$y=0$のとき，$2x \le 8$、$x \le 4$なので，$x+y \le 4$

よって最大値は $(3, 2)$ のときの $3+2=5$ です。食べる量の合計は500g。

$2x+3y\le 15$, $2x+y\le 8$, $x\ge0$, $y\ge0$の整数解を求める。

$x=0,1,2,3,4,5$

$x=0$のとき，$3y \le 15$,$y\le 5$, $y\le 8$, よって$y=0,1,2,3,4,5$

$x=1$のとき，$3y \le 13$, $y\le 4$, $y\le 6$, よって$y=0,1,2,3,4$

$x=2$のとき，$3y \le 11$,$y\le 3$, $y\le 4$, よって$y=0,1,2,3$

$x=3$のとき，$3y \le 9$,$y\le 3$, $y\le 2$, よって$y=0,1,2$

$x=4$のとき，$3y \le 7$,$y\le 2$, $y\le 0$, よって$y=0,1$

$x=5$のとき，$3y \le 5$,$y\le 1$, $y\le -2$, よって$y=0,1,2$

$200x + 300y \le 1500$ かつ $4x+2y \le 16$ かつ $x, y$ が整数の組を探します。

$(x,y) = (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), (0,4), (0,5)$

$(x,y) = (1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (1,4)$

$(x,y) = (2,0), (2,1), (2,2), (2,3)$

$(x,y) = (3,0), (3,1), (3,2)$

$(x,y) = (4,0)$

(2) $x + y \ge 6$ かつ $200x + 300y \le 1500$ を満たす整数 $x, y$ を探します。

$x + y \ge 6$ より、$y \ge 6 - x$ です。

$2x + 3y \le 15$ より、$y \le (15 - 2x) / 3$ です。

$6 - x \le y \le (15 - 2x) / 3$ を満たす整数 $x, y$ で、$4x + 2y$ が最小になるものを探します。

$x = 0$ のとき、$6 \le y \le 5$ となり、条件を満たす $y$ は存在しません。

$x = 1$ のとき、$5 \le y \le 13/3 = 4.33$ となり、条件を満たす $y$ は存在しません。

$x = 2$ のとき、$4 \le y \le 11/3 = 3.66$ となり、条件を満たす $y$ は存在しません。

$x = 3$ のとき、$3 \le y \le 3$ となり、$y = 3$ となります。

$x = 4$ のとき、$2 \le y \le 7/3 = 2.33$ となり、$y = 2$ となります。

$x = 5$ のとき、$1 \le y \le 5/3 = 1.66$ となり、$y = 1$ となります。

$x = 6$ のとき、$0 \le y \le 3/3 = 1$ となり、$y = 0$ となります。

脂質量は $4x + 2y$ です。

$(x, y) = (3, 3)$ のとき、$4(3) + 2(3) = 18$ g です。

$(x, y) = (4, 2)$ のとき、$4(4) + 2(2) = 20$ g です。

$(x, y) = (5, 1)$ のとき、$4(5) + 2(1) = 22$ g です。

$(x, y) = (6, 0)$ のとき、$4(6) + 2(0) = 24$ g です。

最小の脂質量は $x=3,y=3$のときの18gである。

2. 解き方の手順

条件①は、カラアゲとコロッケから摂取するエネルギー量の合計が1500kcal以下であるという条件なので、

アは200x+300y≤1500である。

条件②は、カラアゲとコロッケから摂取する脂質の量の合計が16g以下であるという条件なので、

イは4x+2y≤16である。

(x,y)=(0,5)は条件①を満たす。条件②も満たす。

(x,y)=(5,0)は条件①を満たす。条件②は満たさない。

(x,y)=(4,1)は条件①を満たす。条件②は満たさない。

(x,y)=(3,2)は条件①を満たす。条件②も満たす。

条件①かつ②を満たす(x,y)について、カラアゲとコロッケを食べる量の合計の最大値を求める。

カラアゲ、コロッケの袋を小分けにして食べるとき、すなわちx,yのとりうる値が実数の場合、食べる量の合計の最大値を考える。

$200x+300y\leq 1500$より、$2x+3y\leq 15$

$4x+2y\leq 16$より、$2x+y\leq 8$

$x+y=k$と置くと$y=k-x$

$2x+3(k-x)\leq 15$,$2x+3k-3x\leq 15$,$-x+3k\leq 15$,$x\geq 3k-15$

$2x+k-x\leq 8$,$x+k\leq 8$,$x\leq 8-k$

$3k-15\leq x\leq 8-k$

$3k-15\leq 8-k$,$4k\leq 23$,$k\leq \frac{23}{4}=5.75$

よって$x+y$の最大値は5.75

カラアゲ，コロッケの袋を小分けにして食べるとき，食べる量の合計の最大値は575gである．

このときの（x，y）の組は，（2.25，3.5）である．

次に，カラアゲ，コロッケを袋の中身はすべて食べ切るとき，食べる量の合計の最大値を考える．

2x+3y≤15, 2x+y≤8を満たす整数の組を探す。

(3,2)のとき、2x+3y=12, 2x+y=8, x+y=5なので最大値は5.食べる量の合計の最大値は500g。

このときの(x,y)の組は7通りある。

(2) S/山先生はカラアゲとコロッケを合計600g以上食べて、エネルギーは1500kcal以下にしたい。脂質を最も少なくできるのは、カラアゲ、コロッケの袋の中身をすべて食べるとき、カラアゲを3袋、コロッケを3袋食べるときで、そのときの脂質は18gである。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：4

ウ：0

エ：3

オカキ：575

ク：2.25

ケ：9/4

サ：3.5

シ：7/2

シスセ：500

ソ：7

タ：3

チ：3

ツテ：18