質量200kgの一様な鉄材が、一端Aで傾斜30度のなめらかな斜面に接し、他端Bで水平ななめらかな床に接しています。斜面に沿って力Pが加えられ、鉄材は静止しています。AとBにおける反力と力Pの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

質量200kgの一様な鉄材が、一端Aで傾斜30度のなめらかな斜面に接し、他端Bで水平ななめらかな床に接しています。斜面に沿って力Pが加えられ、鉄材は静止しています。AとBにおける反力と力Pの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 力の図示:

鉄材には、重力 $mg$、斜面からの反力 $N_A$、床からの反力 $N_B$、そして力 $P$ が働いています。重力は鉄材の中央（重心）に作用します。斜面となめらかな床からの反力はそれぞれ斜面に垂直、床に垂直です。

(2) 力の釣り合いの式:

鉄材が静止しているため、力の釣り合いが成り立ちます。水平方向と鉛直方向について、力の成分を分解し、釣り合いの式を立てます。

水平方向:

$P \cos 30^\circ = N_A \sin 30^\circ$

鉛直方向:

$N_A \cos 30^\circ + N_B = mg + P \sin 30^\circ$

(3) モーメントの釣り合いの式:

モーメントの釣り合いも成り立ちます。点Bを回転軸として、モーメントの和がゼロになる式を立てます。鉄材の長さを$L$とすると、重力の作用点までの距離は$L/2$です。

$N_A L = mg \frac{L}{2} \cos 30^\circ + P L \sin 30^\circ$

(4) 連立方程式を解く:

上記の3つの式は、$N_A$, $N_B$, $P$ の3つの未知数を含む連立方程式です。これらの式を解いて、それぞれの値を求めます。

まず、モーメントの式から $N_A$ を求めます。

$N_A = \frac{1}{2} mg \cos 30^\circ + P \sin 30^\circ$

$N_A = \frac{\sqrt{3}}{4}mg + \frac{1}{2}P$

これを水平方向の力の式に代入します。

$P \cos 30^\circ = (\frac{\sqrt{3}}{4}mg + \frac{1}{2}P) \sin 30^\circ$

$\frac{\sqrt{3}}{2} P = (\frac{\sqrt{3}}{4}mg + \frac{1}{2}P) \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2} P = \frac{\sqrt{3}}{8}mg + \frac{1}{4}P$

$(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{4}) P = \frac{\sqrt{3}}{8}mg$

$(\frac{2\sqrt{3}-1}{4}) P = \frac{\sqrt{3}}{8}mg$

$P = \frac{\sqrt{3}}{8}mg \times \frac{4}{2\sqrt{3}-1}$

$P = \frac{\sqrt{3}}{2(2\sqrt{3}-1)}mg = \frac{\sqrt{3}(2\sqrt{3}+1)}{2(12-1)}mg = \frac{6+\sqrt{3}}{22}mg$

$mg = 200kg \times 9.8 m/s^2 = 1960 N$

$P = \frac{6+\sqrt{3}}{22} \times 1960 N \approx 682.4 N$

$N_A = \frac{\sqrt{3}}{4}mg + \frac{1}{2}P = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1960 N + \frac{1}{2} \times 682.4 N \approx 848.7 N + 341.2 N \approx 1189.9 N$

$N_A \cos 30^\circ + N_B = mg + P \sin 30^\circ$

$1189.9 N \times \frac{\sqrt{3}}{2} + N_B = 1960 N + 682.4 N \times \frac{1}{2}$

$1030.5 N + N_B = 1960 N + 341.2 N$

$N_B = 2301.2 N - 1030.5 N \approx 1270.7 N$

3. 最終的な答え

反力A: $N_A \approx 1190 N$

反力B: $N_B \approx 1271 N$

力P: $P \approx 682 N$