質量200 kgの一様な太さの鉄材が、一端Aで傾斜角30°の滑らかな斜面に接し、他端Bで水平な滑らかな床に接している。鉄材は斜面に沿って力Pで引っ張られて静止している。点Aと点Bにおける反力と力Pの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

質量200 kgの一様な太さの鉄材が、一端Aで傾斜角30°の滑らかな斜面に接し、他端Bで水平な滑らかな床に接している。鉄材は斜面に沿って力Pで引っ張られて静止している。点Aと点Bにおける反力と力Pの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 各点における反力を仮定し、図示する。

点Aにおける反力は斜面に垂直である。これを$N_A$とする。

点Bにおける反力は床に垂直である。これを$N_B$とする。

重力は鉄材の中央（重心）に働く。重力は$mg$であり、$m = 200 kg$、$g = 9.8 m/s^2$である。

鉄材に沿って力Pが働く。

(2) 水平方向と鉛直方向の力の釣り合いを考える。

水平方向の力の釣り合いは$N_A \sin 30^\circ = P \cos 0^\circ$なので、

$N_A \sin 30^\circ = P$ (1)

鉛直方向の力の釣り合いは$N_A \cos 30^\circ + N_B = mg$なので、

$N_A \cos 30^\circ + N_B = mg$ (2)

(3) 点Bのまわりのモーメントの釣り合いを考える。鉄材の長さを$L$とすると、

$N_A L - mg \frac{L}{2} \cos 30^\circ - P L \cos 30^\circ = 0$

$N_A - \frac{mg}{2} \cos 30^\circ - P \cos 30^\circ = 0$

$N_A = \frac{mg}{2} \cos 30^\circ + P \cos 30^\circ$ (3)

(4) 式(1)から、$P = N_A \sin 30^\circ = \frac{N_A}{2}$なので、(3)式に代入すると

$N_A = \frac{mg}{2} \cos 30^\circ + \frac{N_A}{2} \cos 30^\circ$

$N_A (1 - \frac{1}{2} \cos 30^\circ) = \frac{mg}{2} \cos 30^\circ$

$N_A (1 - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \frac{mg}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}$

$N_A = \frac{mg \sqrt{3}}{4(1 - \frac{\sqrt{3}}{4})} = \frac{mg \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}}$

$N_A = \frac{200 \cdot 9.8 \cdot \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{1960 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{1960 \sqrt{3}(4 + \sqrt{3})}{(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})} = \frac{1960(4\sqrt{3} + 3)}{16 - 3} = \frac{1960(4\sqrt{3} + 3)}{13}$

$N_A \approx \frac{1960(4 \cdot 1.732 + 3)}{13} = \frac{1960(6.928 + 3)}{13} = \frac{1960 \cdot 9.928}{13} \approx 1500 N$

(5) 式(1)から$P = \frac{N_A}{2}$なので、$P = \frac{1}{2} \frac{1960 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{980 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} = \frac{980 \sqrt{3}(4 + \sqrt{3})}{13} = \frac{980(4\sqrt{3} + 3)}{13}$

$P \approx \frac{980(4 \cdot 1.732 + 3)}{13} = \frac{980(6.928 + 3)}{13} = \frac{980 \cdot 9.928}{13} \approx 750 N$

(6) 式(2)から、$N_B = mg - N_A \cos 30^\circ = 200 \cdot 9.8 - \frac{1960 \sqrt{3}}{4 - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1960 - \frac{1960 \cdot 3}{2(4 - \sqrt{3})} = 1960 - \frac{2940}{4 - \sqrt{3}} = 1960 - \frac{2940(4 + \sqrt{3})}{13} = 1960 - \frac{2940 \cdot 4}{13} - \frac{2940 \sqrt{3}}{13} = 1960 - \frac{11760}{13} - \frac{2940 \cdot 1.732}{13} = 1960 - 904.6 - 392.0 \approx 663.4 N$

3. 最終的な答え

点Aにおける反力 $N_A \approx 1500 N$

点Bにおける反力 $N_B \approx 663 N$

力Pの大きさ $P \approx 750 N$