与えられた実数値データ $x_1, x_2, ..., x_n$ と $w_1, w_2, ..., w_n$ の平均値をそれぞれ $\bar{x}$ と $\bar{w}$ とする。偏差の積の和 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(w_i - \bar{w})$ を、$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i$ を用いて表したときの、空欄「オ」を埋める問題である。

1. 問題の内容

与えられた実数値データ $x_1, x_2, ..., x_n$ と $w_1, w_2, ..., w_n$ の平均値をそれぞれ $\bar{x}$ と $\bar{w}$ とする。偏差の積の和 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(w_i - \bar{w})$ を、$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i$ を用いて表したときの、空欄「オ」を埋める問題である。

2. 解き方の手順

まず、偏差の積の和を展開する。

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(w_i - \bar{w}) = \sum_{i=1}^{n} (x_i w_i - x_i \bar{w} - \bar{x} w_i + \bar{x} \bar{w})$

次に、シグマ記号を展開する。

$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i - \sum_{i=1}^{n} x_i \bar{w} - \sum_{i=1}^{n} \bar{x} w_i + \sum_{i=1}^{n} \bar{x} \bar{w}$

ここで、$\bar{w}$ と $\bar{x}$ は定数なので、シグマの外に出せる。

$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i - \bar{w} \sum_{i=1}^{n} x_i - \bar{x} \sum_{i=1}^{n} w_i + \sum_{i=1}^{n} \bar{x} \bar{w}$

問題文に与えられている $\bar{x}$ と $\bar{w}$ の定義より、$\sum_{i=1}^{n} x_i = n \bar{x}$ と $\sum_{i=1}^{n} w_i = n \bar{w}$ である。また、$\sum_{i=1}^{n} \bar{x} \bar{w} = n \bar{x} \bar{w}$ である。

したがって、

$\sum_{i=1}^{n} x_i w_i - \bar{w} (n \bar{x}) - \bar{x} (n \bar{w}) + n \bar{x} \bar{w} = \sum_{i=1}^{n} x_i w_i - n \bar{x} \bar{w} - n \bar{x} \bar{w} + n \bar{x} \bar{w}$

$= \sum_{i=1}^{n} x_i w_i - n \bar{x} \bar{w}$

3. 最終的な答え

したがって、空欄「オ」に入るべきは $n \bar{x} \bar{w}$ である。

答え: $n\bar{x}\bar{w}$