質量 $200 \text{ kg}$ の一様な太さの鉄材の一端Aは傾角 $30^\circ$ のなめらかな斜面に、他端Bは水平のなめらかな床に接している。斜面に沿って大きさ $P$ の力で引っ張られて静止しているとき、A, Bにおける反力と力 $P$ の大きさを求める。

1. 問題の内容

質量 $200 \text{ kg}$ の一様な太さの鉄材の一端Aは傾角 $30^\circ$ のなめらかな斜面に、他端Bは水平のなめらかな床に接している。斜面に沿って大きさ $P$ の力で引っ張られて静止しているとき、A, Bにおける反力と力 $P$ の大きさを求める。

2. 解き方の手順

まず、鉄材にはたらく力を図示する。

- 重力: $mg$ (鉄材の中心に作用)

- 斜面からの反力: $N_A$ (斜面に垂直)

- 床からの反力: $N_B$ (鉛直上向き)

- 引っ張る力: $P$ (斜面に沿って上向き)

次に、力のつり合いの式とモーメントのつり合いの式を立てる。

力のつり合い:

- 水平方向: $N_A \sin 30^\circ = P \cos 30^\circ$

- 鉛直方向: $N_A \cos 30^\circ + N_B = mg + P \sin 30^\circ$

モーメントのつり合い: 鉄材の中心周りのモーメントを考える。鉄材の長さを $2L$ とする。

- $N_A L = N_B L$

$N_A$ と $N_B$ は同じ大きさであることがわかる。

$N_A = N_B$ を $N$ とおくと、水平方向の式より

$N \sin 30^\circ = P \cos 30^\circ$

$N \frac{1}{2} = P \frac{\sqrt{3}}{2}$

$N = P \sqrt{3}$

鉛直方向の式に $N_A = N_B = N$ と $mg = 200 \times 9.8 = 1960 \text{ N}$ を代入する。

$N \cos 30^\circ + N = 1960 + P \sin 30^\circ$

$N (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = 1960 + \frac{1}{2} P$

$N = P \sqrt{3}$ を代入して

$P \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) = 1960 + \frac{1}{2} P$

$P (\frac{3}{2} + \sqrt{3}) = 1960 + \frac{1}{2} P$

$P (\frac{3}{2} + \sqrt{3} - \frac{1}{2}) = 1960$

$P (1 + \sqrt{3}) = 1960$

$P = \frac{1960}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1960 ( \sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{1960 (\sqrt{3} - 1)}{2} = 980(\sqrt{3}-1) \approx 700 \text{ N}$

$N_A = N_B = N = P \sqrt{3} = 980 (\sqrt{3}-1) \sqrt{3} = 980 (3 - \sqrt{3}) = 980(3 - 1.732) = 980 \times 1.268 \approx 1242.6 \text{ N}$

3. 最終的な答え

$P = 980(\sqrt{3}-1) \text{ N} \approx 700 \text{ N}$

$N_A = N_B = 980(3 - \sqrt{3}) \text{ N} \approx 1243 \text{ N}$