質量200kgの一様な太さの鉄材の一端Aは傾角30°のなめらかな斜面にあり、他端Bは水平のなめらかな床にある。鉄材は斜面に沿って力Pで引っ張られて静止している。A, Bにおける反力と力Pの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

質量200kgの一様な太さの鉄材の一端Aは傾角30°のなめらかな斜面にあり、他端Bは水平のなめらかな床にある。鉄材は斜面に沿って力Pで引っ張られて静止している。A, Bにおける反力と力Pの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 鉄材に働く力を図示する。

* 重力：$mg$ (鉛直下向き)

* Aにおける反力：$N_A$ (斜面に垂直)

* Bにおける反力：$N_B$ (鉛直上向き)

* 力：$P$ (斜面に沿って上向き)

(2) 力のつり合いの式を立てる。

水平方向：

$$-P \cos 30^\circ + N_A = 0 \qquad (1)$$

鉛直方向：

$$N_B + P \sin 30^\circ - mg = 0 \qquad (2)$$

(3) モーメントのつり合いの式を立てる。

B点を中心としたモーメントのつり合いを考える。鉄材の長さを$L$とすると、

$$N_A L - mg \frac{L}{2} \cos 30^\circ = 0$$

$$N_A = \frac{1}{2} mg \cos 30^\circ \qquad (3)$$

(4) (3)式を(1)式に代入して$P$を求める。

$$-P \cos 30^\circ + \frac{1}{2} mg \cos 30^\circ = 0$$

$$P = \frac{1}{2} mg = \frac{1}{2} \times 200 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 980 \text{ N}$$

(5) $P$を(2)式に代入して$N_B$を求める。

$$N_B + 980 \text{ N} \times \sin 30^\circ - 200 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 = 0$$

$$N_B = 1960 \text{ N} - 980 \text{ N} \times \frac{1}{2} = 1960 \text{ N} - 490 \text{ N} = 1470 \text{ N}$$

(6) $N_A$を求める。

$$N_A = \frac{1}{2} \times 200 \text{ kg} \times 9.8 \text{ m/s}^2 \times \cos 30^\circ = 980 \text{ N} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 848.7 \text{ N}$$

3. 最終的な答え

Aにおける反力: $N_A = 848.7$ N

Bにおける反力: $N_B = 1470$ N

力Pの大きさ: $P = 980$ N